与“不厌其烦”押韵的词语需要满足以下条件：

韵母相同：

需与“烦”（第一声）韵母相同，即“an”韵母；

词性适配：

通常选择副词或动词性成语。

根据以上标准，以下是匹配的词语及例句：

一、常见押韵成语

不厌其详

指不嫌详细，越详细越好。 *例句*：老师对实验步骤不厌其详地讲解，直到学生完全理解。

不厌其繁

指不嫌繁杂琐碎，形容工作细致耐心。 *例句*：她处理文件不厌其繁，效率极高。

诲人不倦

形容耐心教导，不知疲倦。 *例句*：张老师诲人不倦，学生们在他的指导下进步显著。

苦口婆心

形容反复劝说，耐心恳切。 *例句*：律师为当事人苦口婆心辩护，最终说服了法官。

二、其他相关成语

不惮其烦：

不嫌麻烦，与“不厌其烦”近义，可替换使用。

乐此不疲：因喜爱而不知疲倦，与“不厌其烦”在耐心表达上有相似意境。

三、补充说明

反义词：不胜其烦（形容烦琐到无法忍受）。

用法：上述成语多作谓语或状语，含褒义，常用于形容教育、工作等场景中的耐心态度。

以上词语均与“不厌其烦”押韵，且在不同语境中可灵活运用。