等价函数是指在特定条件下可以相互替换的函数，通常用于简化计算或近似处理。以下是常见等价函数的分类及示例：

一、三角函数类

当 $x \to 0$ 时

- $\sin（x） \sim x$

- $\tan（x） \sim x$

- $1 - \cos（x） \sim \frac{1}{2}x^2$

- $\arcsin（x） \sim x$

- $\arctan（x） \sim x$

当 $x \to \infty$ 时

- $\sin（x）$ 和 $\tan（x）$ 无等价无穷小，需结合其他函数分析。

二、对数函数类

自然对数：

$\ln（1+x） \sim x$

换底公式：$\log_a（1+x） \sim \frac{x}{\ln a}$

三、指数函数类

指数近似：$e^x - 1 \sim x$

幂函数近似：$（1+x）^n - 1 \sim nx$（$n$ 为正整数）

四、其他常用等价公式

极限计算

- $（1+x）^{\frac{1}{n}} - 1 \sim \frac{1}{n}x$

- $\ln（1+x） \sim x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$（泰勒展开）

导数近似

- $（1+x）^n \sim 1 + nx$

- $a^x \sim e^{x\ln a}$

五、注意事项

适用范围：

等价替换通常在 $x \to 0$ 或 $x \to \infty$ 时成立，需注意函数的定义域。- 精度限制：高阶近似可能引入误差，需根据实际需求选择精度。

以上公式在数学分析、工程计算及金融建模中应用广泛，但需结合具体场景验证其适用性。