十字相乘法及分组分解法是用于二次三项式因式分解的两种方法。

十字相乘法

十字相乘法适用于形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次三项式，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$。这种方法的关键在于将二次项系数 $a$ 和常数项 $c$ 分别分解成两个因数的乘积，然后通过交叉相乘并相加，判断其是否等于一次项系数 $b$。如果相等，则可以进行因式分解。

步骤：

1. 将二次项系数 $a$ 分解成两个因数的乘积，记为 $a = p \times q$。

2. 将常数项 $c$ 分解成两个因数的乘积，记为 $c = p \times r$ 或 $c = q \times r$，注意符号。

3. 画出十字交叉线，将 $p$ 和 $q$ 分别放在十字线的两端，将 $r$ 和 $r$ 分别放在另一端的两侧。

4. 交叉相乘，即 $p \times r$ 和 $q \times r$ 分别相乘，然后将结果相加。

5. 如果相加的结果等于一次项系数 $b$，则说明分解正确，可以将原式写成 $（x + p）（x + r）$ 的形式。

分组分解法

分组分解法适用于没有明显公因式或不易直接应用公式的情况。通过将多项式分成几组，然后分别进行因式分解，最后提取公因式或使用公式完成因式分解。

步骤：

1. 观察多项式，确定如何分组。通常是将多项式分成含有相同变量的项进行分组。

2. 对每组进行因式分解，尝试提取公因式或使用公式。

3. 将分解后的结果合并，并提取公因式。

示例

十字相乘法示例：

$x^2 + 5x + 6$

1. $a = 1, b = 5, c = 6$

2. $a = 1 \times 1, c = 2 \times 3$

3. 分组：$（x^2 + 5x） + （6）$

4. 提取公因式：$x（x + 5） + 6$

5. 分解：$（x + 2）（x + 3）$

分组分解法示例：

$x^2 - 2xy + y^2 - 1$

1. 分组：$（x^2 - 2xy + y^2） - 1$

2. 识别完全平方公式：$（x - y）^2 - 1^2$

3. 应用平方差公式：$（x - y + 1）（x - y - 1）$

通过掌握这两种方法，可以更有效地进行二次三项式的因式分解。