一、代数公式

一元一次方程

解法：$x = -\frac{b}{a}$（$a \neq 0$）

示例：$2x + 3 = 0$ → $x = -\frac{3}{2}$

一元二次方程

求根公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

根与系数关系：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

示例：$x^2 - 5x + 6 = 0$ → $x = 2$ 或 $x = 3$

因式分解

- 平方差公式：$a^2 - b^2 = （a + b）（a - b）$

- 完全平方公式：$a^2 \pm 2ab + b^2 = （a \pm b）^2$

- 立方和/差公式：$a^3 \pm b^3 = （a \pm b）（a^2 \mp ab + b^2）$

二、几何公式

勾股定理

直角三角形：$c^2 = a^2 + b^2$（$c$为斜边）

示例：$3^2 + 4^2 = 5^2$

三角形面积

海伦公式：$S = \sqrt{s（s-a）（s-b）（s-c）}$（$s = \frac{a+b+c}{2}$）

示例：$a=3, b=4, c=5$ → $S = 6$

正多边形面积

正$n$边形：$S = \frac{1}{4}n a^2 \cot\left（\frac{\pi}{n}\right）$（$a$为边长）

三、统计与概率

平均数：

$\bar{x} = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$

中位数：

- 奇数个数据：第$\frac{n+1}{2}$个数

- 偶数个数据：第$\frac{n}{2}$与$\frac{n}{2+1}$个数的平均数

众数：

出现次数最多的数（可有多个）

四、三角函数公式

两角和/差：

- $\sin（A \pm B） = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$

- $\cos（A \pm B） = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$

- $\tan（A \pm B） = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

倍角公式：

- $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$

- $\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$

半角公式：

- $\sin\left（\frac{A}{2}\right） = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}$

- $\cos\left（\frac{A}{2}\right） = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$

五、其他常用公式

平方差公式：$a^2 - b^2 = （a + b）（a - b）$

完全平方公式：$a^2 \pm 2ab + b^2 = （a \pm b）^2$

韦达定理：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

以上公式覆盖了初中数学的核心内容，建议结合例题进行练习以加深理解。