tan（2x） 的二倍角公式可以通过多种方法推导，以下是两种常见的推导方式：

一、基于正弦和余弦的二倍角公式

正弦二倍角公式

$$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$

余弦二倍角公式

$$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$$

正切二倍角公式推导

$$\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x) - \sin^2(x)}$$

将分子分母同时除以 $\cos^2（x）$，得到：

$$\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$$

这是tan（2x）的标准二倍角公式。

二、基于正切的和角公式

正切和角公式

$$\tan(A + B) = \frac{\tan(A) + \tan(B)}{1 - \tan(A)\tan(B)}$$

应用和角公式

令 $A = B = x$，则：

$$\tan(2x) = \tan(x + x) = \frac{\tan(x) + \tan(x)}{1 - \tan(x)\tan(x)} = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$$

这一方法通过角度拆分推导出公式。

补充说明

公式来源：

该公式由三角函数的基本性质推导而来，与正弦、余弦的二倍角公式紧密相关。

应用场景：常用于简化三角函数计算，例如在工程、物理等领域中求解周期性现象。

以上两种方法均可正确表示 $\tan（2x）$ 的二倍角公式，可根据具体问题选择合适推导路径。